题目 如图，在三棱锥 $P-ABC$ 中，$PA\perp AB$，$PA\perp BC$，$AB\perp BC$，$PA=AB=BC=2$，$D$ 为线段 $AC$ 的中点，$E$ 为线段 $PC$ 上一点．<br><img src="/static/images/55ce25e8c5c8dd275c07b423890a32b9.png" class="img-responsive" />  问题1 求证：$PA\perp BD$； 答案1 略 解析1 因为 $PA\perp AB$，$PA\perp BC$，$AB\cap BC=B$，所以$$PA\perp \text{平面}ABC.$$因为 $BD\subset $ 平面 $ABC$，所以$$PA\perp BD.$$ 备注1 问题2 求证：平面 $BDE\perp$ 平面 $PAC$； 答案2 略 解析2 在 $\triangle{ABC}$ 中，因为 $AB=BC$，$D$ 为 $AC$ 中点，所以$$BD\perp AC.$$又 $PA\perp BD$，$AC\cap PA=A$，所以$$BD\perp {\text{平面}}PAC.$$又因为 $BD\subset $ 平面 $BDE$，所以$$\text{平面}BDE\perp \text{平面}PAC.$$ 备注2 问题3 当 $PA\parallel$ 平面 $BDE$ 时，求三棱锥 $E-BCD$ 的体积． 答案3 $\dfrac 13$ 解析3 因为 $PA\parallel $ 平面 $BDE$，$PA\subset$ 平面 $PAC$，且平面 $PAC\cap $ 平面 $BDE=DE$，所以$$PA\parallel DE.$$因为 $PA\parallel$ 平面 $ABC$，所以$$DE\perp \text{平面}ABC.$$所以 $DE$ 为三棱锥 $E-BCD$ 的高．<br/>又因为 $D$ 为 $AC$ 中点，$E$ 为 $PC$ 中点，所以$$DE=\dfrac 12 PA=1 ,AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=2\sqrt 2.$$在 $\triangle{ABC}$ 中，$DC=\dfrac 12 AC=\sqrt 2$．<br/>因为 $BC=BA$，$\angle{ABC}=90^{\circ}$，所以$$DB=DC=\sqrt 2.$$所以三棱锥 $E-BCD$ 的体积为\[\begin{split}V_{E-BCD}&=\dfrac 13 \cdot S_{\triangle{BCD}}\cdot DE\\&=\dfrac 13 \cdot \dfrac 12 \cdot DB\cdot DC\cdot DE\\&=\dfrac 13.\end{split}\] 备注3