为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔 $30 {\rm {min}}$ 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：$\rm cm$）．下面是检验员在一天内依次抽取的 $16$ 个零件的尺寸：\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
\mbox{抽取次序}&1&2&3&4&5&6&7&8\\ \hline
\mbox{零件尺寸}&9.95&10.12&9.96&9.96&10.01&9.92&9.98&10.04\\ \hline
\mbox{抽取次序}&9&10&11&12&13&14&15&16\\ \hline
\mbox{零件尺寸}&10.26&9.91&10.13&10.02&9.22&10.04&10.05&9.95\\ \hline
\end{array}\]经计算得 $\displaystyle \bar x=\dfrac{1}{16}\sum\limits_{i=1}^{16}{x_i}=9.97$，$\displaystyle s=\sqrt{\dfrac{1}{16}\sum\limits_{i=1}^{16}(x_i-\bar x)^2}=\sqrt{\dfrac{1}{16}(\sum\limits_{i=1}^{16}{x_i^2}-16{\bar x}^2)}\approx 0.212$，$\displaystyle \sqrt{\sum\limits_{i=1}^{16}(i-8.5)^2}\approx 18.439$，$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{16}(x_i-\bar x)(i-8.5)=-2.78$，其中 $x_i$ 为抽取的第 $i$ 个零件的尺寸，$i=1,2,\cdots,16$．
\mbox{抽取次序}&1&2&3&4&5&6&7&8\\ \hline
\mbox{零件尺寸}&9.95&10.12&9.96&9.96&10.01&9.92&9.98&10.04\\ \hline
\mbox{抽取次序}&9&10&11&12&13&14&15&16\\ \hline
\mbox{零件尺寸}&10.26&9.91&10.13&10.02&9.22&10.04&10.05&9.95\\ \hline
\end{array}\]经计算得 $\displaystyle \bar x=\dfrac{1}{16}\sum\limits_{i=1}^{16}{x_i}=9.97$，$\displaystyle s=\sqrt{\dfrac{1}{16}\sum\limits_{i=1}^{16}(x_i-\bar x)^2}=\sqrt{\dfrac{1}{16}(\sum\limits_{i=1}^{16}{x_i^2}-16{\bar x}^2)}\approx 0.212$，$\displaystyle \sqrt{\sum\limits_{i=1}^{16}(i-8.5)^2}\approx 18.439$，$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{16}(x_i-\bar x)(i-8.5)=-2.78$，其中 $x_i$ 为抽取的第 $i$ 个零件的尺寸，$i=1,2,\cdots,16$．
【难度】
【出处】
2017年高考全国乙卷（文）
【标注】
-
求 $(x_i,i)(i=1,2,\cdots ,16)$ 的相关系数 $r$，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若 $r<0.25$，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）；标注答案$r\approx -0.18$，这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小．解析由样本数据得 $(x_i,i)(i=1,2,\cdots,16)$ 的相关系数为$$r=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{16}(x_i-\bar x)(i-8.5)}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{16}(x_i-\bar x)^2}\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{16}(i-8.5)^2}}=\dfrac{-2.78}{0.212\cdot \sqrt{16}\cdot 18.439}\approx -0.18.$$由于 $|r|<0.25$，因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小．
-
一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 $(\bar x-3s,\bar x+3s)$ 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（i）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查；
（ii）在 $(\bar x-3s,\bar x+3s)$ 之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差（精确到 $0.01$）．
附：样本 $(x_i,y_i)(i=1,2,\cdots,n)$ 的相关系数 $\displaystyle r=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2}\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n(y_i-\bar y)^2}}$，$\sqrt{0.008}\approx 0.09$．标注答案（i）需检查；（ii）均值的估计值为 $10.02$，标准差的估计值为 $ 0.09$．解析（i）由于 $\bar x=9.97$，$s\approx 0.212$，由样本数据可以看出抽取的第 $13$ 个零件的尺寸在 $(\bar x-3s,\bar x+3s)$ 以外，因此需对当天的生产过程进行检查．
（ii）剔除离群值，即第 $13$ 个数据，剩下数据的平均数为$$\dfrac 1{15}(16\cdot 9.97-9.22)=10.02,$$这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为 $10.02$．
$\displaystyle \sum \limits_{i=1}^{16}{x_i^2}=16\cdot 0.212^2+16\cdot 9.97^2\approx 1591.134$，剔除第 $13$ 个数据，剩下数据的样本方差为$$\dfrac 1{15}(1591.134-9.22^2-15\cdot 10.02^2)\approx 0.008,$$因此这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为 $\sqrt{0.008}\approx 0.09$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
