在 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$．已知 $b=3$，$\overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow{AC}=-6$，$S_{\triangle ABC}=3$，求 $A$ 和 $a$．
【难度】
【出处】
2017年高考山东卷（文）
【标注】
【答案】
$A=\dfrac{3\pi}{4}$，$a=\sqrt{29}$
【解析】
因为 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=-6$，所以\[bc\cos A\overset{[a]}=-6,\]（推导中用到：[a]）
又 $S_{\triangle ABC}=3$，所以\[bc=\sin A=6,\]因此 $\tan A=-1$，又 $0<A<\pi$，所以 $A=\dfrac{3\pi}{4}$．
又 $b=3$，所以 $c=2\sqrt 2$．由余弦定理$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$，得\[a^{2}=9+8-2\cdot 3\cdot 2\sqrt 2\cdot \left(-\dfrac{\sqrt 2}{2}\right)=29,\]所以 $a=\sqrt{29}$．
又 $S_{\triangle ABC}=3$，所以\[bc=\sin A=6,\]因此 $\tan A=-1$，又 $0<A<\pi$，所以 $A=\dfrac{3\pi}{4}$．
又 $b=3$，所以 $c=2\sqrt 2$．由余弦定理$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$，得\[a^{2}=9+8-2\cdot 3\cdot 2\sqrt 2\cdot \left(-\dfrac{\sqrt 2}{2}\right)=29,\]所以 $a=\sqrt{29}$．
答案
解析
备注
