已知 $\{a_{n}\}$ 是各项为正数的等比数列，且 $a_{1}+a_{2}=6$，$a_{1}a_{2}=a_{3}$．
【难度】
【出处】
2017年高考山东卷（文）
【标注】
-
求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；标注答案$a_{n}=2^{n}$解析设 $\{a_{n}\}$ 的公比为 $q$，由题意知：\[a_{1}(1+q)=6, a_{1}^{2}q=a_{1}q^{2},\]又 $a_{1}>0$，解得 $a_{1}=2,q=2$，所以 $a_{n}=2^{n}$．
-
$\{b_{n}\}$ 为各项非零的等差数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$，已知 $S_{2n+1}=b_{n}b_{n+1}$，求数列 $\left\{\dfrac{b_{n}}{a_{n}}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$．标注答案$T_{n}=5-\dfrac{2n+5}{2^{n}}$解析由题意知：\[S_{2n+1}=\dfrac{(2n+1)(b_{1}+b_{2n+1})}{2}=(2n+1)b_{n+1},\]又 $S_{2n+1}=b_{n}b_{n+1}$，$b_{n+1}\ne 0$，所以 $b_{n}=2n+1$．
令 $c_{n}=\dfrac{b_{n}}{a_{n}}$，则 $c_{n}=\dfrac{2n+1}{2^{n}}$，因此\[T_{n}=c_{1}+c_{2}+\cdots+c_{n}=\dfrac{3}{2}+\dfrac{5}{2^{2}}+\dfrac{7}{2^{3}}+\cdots+\dfrac{2n-1}{2^{n-1}}+\dfrac{2n+1}{2^{n}},\]又\[\dfrac{1}{2}T_{n}=\dfrac{3}{2^{2}}+\dfrac{5}{2^{3}}+\cdots+\dfrac{2n-1}{2^{n}}+\dfrac{2n+1}{2^{n+1}},\]两式相减得\[\dfrac{1}{2}T_{n}=\dfrac{3}{2}+\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^{2}}+\cdots+\dfrac{1}{2^{n-1}}\right)-\dfrac{2n+1}{2^{n+1}},\]所以 $T_{n}=5-\dfrac{2n+5}{2^{n}}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
