函数 $ f\left(x\right)=A\sin\left( \omega x-{\dfrac{\mathrm \pi} {6}}\right) +1\left(A>0,\omega >0\right) $ 的最大值为 $ 3 $，其图象相邻两条对称轴之间的距离为 $ {\dfrac{{\mathrm \pi} }{2}} $．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
求函数 $ f\left(x\right) $ 的解析式；标注答案$f\left(x\right)=2\sin \left(2x-{\dfrac{\mathrm \pi} {6}} \right)+1$．解析本题属于由相关性质确定解析式，难度不大．因为函数 $ f\left(x\right) $ 的最大值为 $ 3 $，
所以 $ A+1=3 $，即 $ A=2 $．
因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为 $ {\dfrac{\mathrm \pi} {2}} $，
所以最小正周期 $ T={\mathrm \pi} $，所以 $ \omega =2 $，
故函数 $ f\left(x\right) $ 的解析式为\[ f\left(x\right)=2\sin \left(2x-{\dfrac{\mathrm \pi} {6}} \right)+1. \] -
设 $ \alpha \in \left(0,{\dfrac{\mathrm \pi} {2}}\right)$，$f \left({\dfrac{\alpha }{2}}\right) =2 $，求 $ \alpha $ 的值．标注答案$\alpha ={\dfrac{{\mathrm \pi} }{3}}$．解析代入（1）中所得解析式，化简得一简单的三角方程，解之即可．因为\[ f \left({\dfrac{\alpha }{2}}\right) =2\sin \left(\alpha -{\dfrac{ {\mathrm \pi} }{6}} \right)+1=2, \]即\[ \sin \left(\alpha -{\dfrac{{\mathrm \pi} }{6}}\right) ={\dfrac{1}{2}}, \]因为\[ 0<\alpha <{\dfrac{{\mathrm \pi} }{2}}, \]所以\[ -{\dfrac{\mathrm \pi} {6}}<\alpha -{\dfrac{{\mathrm \pi} }{6}}<{\dfrac{{\mathrm \pi} }{3}}, \]所以\[ \alpha -{\dfrac{\mathrm \pi} {6}}={\dfrac{{\mathrm \pi} }{6}}, \]故\[ \alpha ={\dfrac{{\mathrm \pi} }{3}}. \]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
