函数 $f\left( x \right)$ 的单调递减区间为 $\left( { - \infty , - 1} \right)$，单调递增区间为 $ \left[ - 1,0 \right),\left( {0, + \infty } \right)$．

本题考查基本初等函数的单调性．函数 $f\left( x \right)$ 的单调递减区间为 $\left( { - \infty , - 1} \right)$，单调递增区间为 $ \left[ - 1,0 \right),\left( {0, + \infty } \right)$．

略．

根据切线相互垂直，结合导数的几何意义可以得出 $x_1 $，$x_2 $ 之间的一个等量关系，应用均值不等式结合该等量关系可以证明结论．这里利用均值定理时的式子变形很关键．由导数的几何意义可知，点 $A$ 处的切线斜率为 $f'\left( {x_1} \right)$，点 $B$ 处的切线斜率为 $f'\left( {x_2} \right)$，故当点 $A$ 处的切线与点 $B$ 处的切线垂直时，有\[f'\left( {x_1} \right)f'\left( {x_2} \right) = - 1.\]因为 ${x_2} < 0$，${x_1} < {x_2}$，所以\[{x_1} < {x_2} < 0.\]当 $x < 0$ 时，对函数 $f\left(x\right)$ 求导，得\[f'\left(x\right) = 2x + 2.\]因为 ${x_1} < {x_2} < 0$，$\left(2{x_1} + 2\right)\left(2{x_2} + 2\right) = - 1$，所以\[2{x_1} + 2 < 0,2{x_2} + 2 > 0.\]因此\[\begin{split}{x_2} - {x_1} &= \dfrac{1}{2} \left[ - \left(2{x_1} + 2\right) + 2{x_2} + 2 \right] \\& \overset {\left[a\right]}\geqslant \sqrt { \left[ - \left(2{x_1} + 2\right) \right]\left(2{x_2} + 2\right)} \\&= 1.\end{split}\]（推导中用到 $ \left[a\right] $．）（当且仅当 $ - \left(2{x_1} + 2\right) = 2{x_2} + 2 = 1$，即 ${x_1} = - \dfrac{3}{2}$ 且 ${x_2} = - \dfrac{1}{2}$ 时等号成立．）
所以函数 $f\left(x\right)$ 的图象在点 $A$，$B$ 处的切线互相垂直时，有 ${x_2} - {x_1} \geqslant 1$．

$a$ 的取值范围是 $\left( - \ln 2 - 1, + \infty \right)$．

由于 $ f(x) $ 的导函数在 $ 0 $ 的两侧分别单调，可得出 $A $，$ B $ 两点位于 $y $ 轴两侧．而切线重合则需函数 $f(x) $ 在 $A $ 点 处的切线过点 $B $，同时函数 $ f(x) $ 在 $B $ 点 处的切线过点 $A $．进而可以得到用 $ x_2 $ 表示 $a$ 的函数关系，进一步分析该函数的性质可得结果．当 ${x_1} < {x_2} < 0$ 或 ${x_2} > {x_1} > 0$ 时，$f'\left( {x_1} \right) \ne f'\left( {x_2} \right)$，故\[{x_1} < 0 < {x_2}.\]当 ${x_1} < 0$ 时，函数 $f\left( x \right)$ 的图象在点 $\left( {{x_1},f\left( {x_1} \right)} \right)$ 处的切线方程为\[y - \left( {x_1^2 + 2{x_1} + a} \right) = \left( {2{x_1} + 2} \right)\left( {x - {x_1}} \right),\]即\[y = \left( {2{x_1} + 2} \right)x - x_1^2 + a.\]当 ${x_2} > 0$ 时，函数 $f\left( x \right)$ 的图象在点 $\left( {{x_2},f\left( {x_2} \right)} \right)$ 处的切线方程为\[y - \ln {x_2} = \dfrac{1}{x_2}\left( {x - {x_2}} \right),\]即\[y = \dfrac{1}{x_2} \cdot x + \ln {x_2} - 1.\]两切线重合的充要条件是\[ \begin{cases}
\dfrac{1}{x_2} = 2{x_1} + 2,&\quad\cdots\cdots ① \\
\ln {x_{ 2 }} - { 1 } = - x_{ 1 }^{ 2 } + a.&\quad\cdots\cdots ② \\
\end{cases} \]由 ① 及 ${x_1} < 0 < {x_2}$ 知 $0 < \dfrac{1}{x_2} < 2$．由 ①② 得\[\begin{split}a &= \ln {x_2} + {\left( {\dfrac{1}{{2{x_2}}} - 1} \right)^2} - 1 \\&= - \ln \dfrac{1}{x_2} + \dfrac{1}{4}{\left( {\dfrac{1}{x_2} - 2} \right)^2} - 1.\end{split}\]令 $t = \dfrac{1}{x_2}$，则 $0 < t < 2$，且\[a = \dfrac{1}{4}{t^2} - t - \ln t.\]设 $h\left(t\right) = \dfrac{1}{4}{t^2} - t - \ln t\left(0 < t < 2\right)$，则\[h'\left(t\right) = \dfrac{1}{2}t - 1 - \dfrac{1}{t} = \dfrac{{{{\left(t - 1\right)}^2} - 3}}{2t} < 0.\]所以\[h\left(t\right) > h\left(2\right) = - \ln 2 - 1,\]所以 $a > - \ln 2 - 1$．而当 $t \in \left(0,2\right)$ 且 $t$ 趋近于 $ 0 $ 时，$h\left(t\right)$ 无限增大，所以 $a$ 的取值范围是\[\left( - \ln 2 - 1, + \infty \right).\]故当函数 $f\left(x\right)$ 的图象在点 $A$，$B$ 处的切线重合时，$a$ 的取值范围是 $\left( - \ln 2 - 1, + \infty \right)$．