查看数据源：5a6c3d59fab5d70008dc2866
已知关于 $x$ 的不等式 $m\cos x\geqslant 2-x^2$ 在 $\left(-\dfrac{\pi}2,\dfrac{\pi}2\right)$ 上恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
A: $[3,+\infty)$
B: $(3,+\infty)$
C: $[2,+\infty)$
D: $(2,+\infty)$
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 知识点
    >
    微积分初步
    >
    导数问题中的技巧
    >
    端点分析
  • 知识点
    >
    微积分初步
    >
    利用导数研究函数的性质
    >
    利用导数研究函数的单调性
  • 题型
    >
    不等式
    >
    恒成立与存在性问题
【答案】
C
【解析】
令\[f(x)=m\cos x+x^2-2,\]注意到该函数为偶函数，于是只需要考虑区间 $\left[0,\dfrac{\pi}2\right)$．分析端点，有\[f(0)=m-2,\]于是\[m\geqslant 2.\]当 $m\geqslant 2$ 时，有\[f(x)\geqslant 2\cos x+x^2-2,\]记右侧函数为 $g(x)$，则\[g'(x)=-2\sin x+2x>0,\]于是函数 $g(x)$ 在 $\left[0,\dfrac{\pi}2\right)$ 上单调递增，符合题意．
综上所述实数 $m$ 的取值范围是 $[2,+\infty)$．
题目 答案 解析 备注
0.134765s