已知 $A,B,C$ 是 $\triangle ABC$ 的三个内角，$G$ 为重心，且 $AG\perp BG$，$AB=2$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
求 $\dfrac{1}{\tan A}+\dfrac{1}{\tan B}$ 的最小值；标注答案$\dfrac{2}{3}$解析取 $AB$ 的中点 $M$，连接 $CG,GM$，则易知 $\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$．如图建立平面直角坐标系，$A(-1,0)$，$B(1,0)$，$G\left(\cos\theta,\sin\theta\right)$，$C\left(3\cos\theta,3\sin\theta\right)$．
此时有$$\tan A=\dfrac{3\sin\theta}{1+3\cos\theta},\tan B=-\tan\left(\pi-B\right)=\dfrac{3\sin\theta}{1-3\cos\theta}.$$根据上述结果，有$$\dfrac{1}{\tan A}+\dfrac{1}{\tan B}=\dfrac{2}{3\sin\theta}\geqslant \dfrac 23,$$等号当且仅当 $\theta=\dfrac{\mathrm \pi} 2$ 时取得．因此所求的最小值为 $\dfrac{2}{3}$． -
求证：$\dfrac{\tan C}{\tan A}+\dfrac{\tan C}{\tan B}$ 是定值．标注答案定值为 $\dfrac 12$解析根据之前的结果，有\[\begin{split}\dfrac{\tan C}{\tan A}+\dfrac{\tan C}{\tan B}&=\left(\dfrac{1}{\tan A}+\dfrac{1}{\tan B}\right)\cdot \tan \left[{\mathrm \pi}-\left(A+B\right)\right]\\&=\left(\dfrac{1}{\tan A}+\dfrac{1}{\tan B}\right)\cdot\left(-\dfrac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\cdot\tan B}\right)\\&=\dfrac{1}{2},\end{split}\]为定值．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
