设 $f(x)=\ln\dfrac{1+2^x+3^x+\cdots+(n-1)^x+n^x\cdot a}{n}$，其中 $a\in (0,1]$，$n$ 是任意给定的自然数，且 $n\geqslant 2$，证明：当 $x\neq 0$ 时，$2f(x)<f(2x)$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
当 $x\neq 0$ 时，有$$f(2x)-2f(x)=\ln\dfrac{n(1+2^{2x}+3^{2x}+\cdots+(n-1)^{2x}+n^{2x}\cdot a)}{\left(1+2^x+3^x+\cdots+(n-1)^x+n^x\cdot a\right)^2},$$因此只需要证明$$n\left(1+2^{2x}+3^{2x}+\cdots+(n-1)^{2x}+n^{2x}\cdot a\right)>\left(1+2^x+3^x+\cdots+(n-1)^x+n^x\cdot a\right)^2.$$构造二次函数$$f(t)=\left(1+2^{2x}+3^{2x}+\cdots+(n-1)^{2x}+n^{2x}\cdot a\right)t^2-2\left(1+2^x+3^x+\cdots+(n-1)^x+n^x\cdot a\right)t+n,$$则当 $a\in (0,1]$ 时，有$$f(t)=(t-1)^2+\left(2^xt-1\right)^2+\cdots+a\left(n^xt-1\right)^2+(1-a)\geqslant 0.$$考虑到 $x\neq 0$，于是上述不等式中的等号无法取得，因此有 $f(t)>0$．因此该二次函数的判别式$$\Delta=4\left(1+2^x+3^x+\cdots+(n-1)^x+n^x\cdot a\right)^2-4n\left(1+2^{2x}+3^{2x}+\cdots+(n-1)^{2x}+n^{2x}\cdot a\right)<0,$$原命题得证．
答案
解析
备注
