已知 $\left\{a_n\right\}$ 是由正数组成的等比数列，$\left\{S_n\right\}$ 是它的前 $n$ 项和．证明：$S_nS_{n+2}<S_{n+1}^2$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
当 $q=1$ 时，显然不等式成立；
当 $q\ne 1$ 时，构造二次函数 $f(t)=S_nt^2+2tS_{n+1}+S_{n+2}$，由求和公式得$$\begin{split} f(t)=&\dfrac {a_1}{1-q}[(1-q^n)t^2+2(1-q^{n+1}t+(1-q^{n+2}]\\=&\dfrac{a_1}{1-q}[(t+1)^2-(t+q)^2\cdot q^n].\end{split} $$因为 $q\ne 1$，且 $q>0$，所以关于 $t$ 的方程$$(t+1)^2-(t+q)^2\cdot q^n=0$$有两个实数解，从而有二次函数 $y=f(t)$ 对应的判别式$$\Delta=4S_{n+1}^2-4S_nS_{n+2}>0.$$综上，不等式得证．
当 $q\ne 1$ 时，构造二次函数 $f(t)=S_nt^2+2tS_{n+1}+S_{n+2}$，由求和公式得$$\begin{split} f(t)=&\dfrac {a_1}{1-q}[(1-q^n)t^2+2(1-q^{n+1}t+(1-q^{n+2}]\\=&\dfrac{a_1}{1-q}[(t+1)^2-(t+q)^2\cdot q^n].\end{split} $$因为 $q\ne 1$，且 $q>0$，所以关于 $t$ 的方程$$(t+1)^2-(t+q)^2\cdot q^n=0$$有两个实数解，从而有二次函数 $y=f(t)$ 对应的判别式$$\Delta=4S_{n+1}^2-4S_nS_{n+2}>0.$$综上，不等式得证．
答案
解析
备注
