题目 设函数 $f(x)=x^2-ax+b$． 问题1 讨论函数 $f(\sin x)$ 在 $\left(-\dfrac \pi 2,\dfrac\pi 2\right)$ 内的单调性，并判断有无极值，有极值时求出极值； 答案1 当 $a\leqslant -2$ 时，$f(x)$ 在 $\left(-\dfrac\pi 2,\dfrac\pi 2\right)$ 上单调递增，无极值；<br/>当 $-2<a<2$ 时，$f(x)$ 在 $\left(-\dfrac\pi 2,\arcsin \dfrac a2\right)$ 上单调递减，在 $\left(\arcsin\dfrac a2,\dfrac\pi 2\right)$ 上单调递增，有极小值 $b-\dfrac {a^{2}}{4}$；<br/>当 $a\geqslant 2$ 时，$f(x)$ 在 $\left(-\dfrac\pi 2,\dfrac\pi 2\right)$ 上单调递减，无极值 解析1 考虑复合函数的单调性，有<br/>当 $a\leqslant -2$ 时，$f(x)$ 在 $\left(-\dfrac\pi 2,\dfrac\pi 2\right)$ 上单调递增，无极值；<br/>当 $-2<a<2$ 时，$f(x)$ 在 $\left(-\dfrac\pi 2,\arcsin \dfrac a2\right)$ 上单调递减，在 $\left(\arcsin\dfrac a2,\dfrac\pi 2\right)$ 上单调递增，有极小值 $b-\dfrac {a^{2}}{4}$；<br/>当 $a\geqslant 2$ 时，$f(x)$ 在 $\left(-\dfrac\pi 2,\dfrac\pi 2\right)$ 上单调递减，无极值． 备注1 问题2 记 $f_0(x)=x^2-a_0x+b_0$，求函数 $\left|f(\sin x)-f_0(\sin x)\right|$ 在 $\left[-\dfrac\pi 2,\dfrac\pi 2\right]$ 上的最大值 $D$； 答案2 $\left|a-a_0\right|+\left|b-b_0\right|$ 解析2 令 $t=\sin x$，$x\in\left[-\dfrac\pi 2,\dfrac\pi 2\right]$，则 $t\in [-1,1]$，且\[\begin{split}\left|f(\sin x)-f_0(\sin x)\right|&=\left|(a_0-a)t+b-b_0\right|\\&\leqslant \left|a-a_0\right|\cdot |t|+\left|b-b_0\right|\\&\leqslant\left|a-a_0\right|+\left|b-b_0\right|,\end{split}\]第一处等号当 $(a_0-a)t$ 与 $b-b_0$ 同号时可以取得，第二处等号当 $t=\pm 1$ 时可以取得．<br/>因此 $D$ 的最大值为 $\left|a-a_0\right|+\left|b-b_0\right|$，当 $x={\rm{sgn}}\left[(a_0-a)(b-b_0)\right]\cdot\dfrac\pi 2$ 时取得，其中符号函数\[{\rm{sgn}}(x)=\begin{cases} 1,x>0,\\0,x=0,\\-1,x<0.\end{cases}\] 备注2 问题3 在 $(2)$ 中，取 $a_0=b_0=0$，求 $z=b-\dfrac{a^2}4$ 满足 $D\leqslant 1$ 时的最大值． 答案3 $ 1 $ 解析3 根据题意，$|a|+|b|\leqslant 1$，此时$$z=b-\dfrac{a^2}4\leqslant b\leqslant |b|\leqslant 1,$$当 $a=0$ 且 $b=1$ 时，等号均能取得．因此 $z$ 的最大值为 $1$． 备注3 每日一题[153] 复合函数的单调性．