已知 $\sin\alpha+\sin\beta=a$，$\cos\alpha+\cos\beta=a+1$，求 $\sin \left(\alpha+\beta\right)$ 及 $\cos \left(\alpha+\beta\right)$．
【难度】
【出处】
2001年复旦大学保送生招生测试
【标注】
【答案】
$\cos(\alpha+\beta)=\dfrac{2a+1}{2a^2+2a+1},\sin(\alpha+\beta)=\dfrac{2a^2+2a}{2a^2+2a+1}$
【解析】
代数变形需要从形、元、次三个角度分析，已知条件的两个等式左侧的式子为一次的，而欲求结论的式子为二次的．提高次数的方法有平方以及相乘，如下．两式平方相加，可得$$2+\cos{(\alpha-\beta)}=a^2+(a+1)^2,$$解得$$\cos{(\alpha-\beta)}=\dfrac{2a^2+2a-1}{2}.$$两式平方相减，可得$$\cos{2\alpha}+\cos{2\beta}+2\cos{(\alpha+\beta)}=(a+1)^2-a^2,$$和差化积，有$$2\cos{(\alpha+\beta)}\cos{(\alpha-\beta)}+2\cos{(\alpha+\beta)}=2a+1.$$两式相乘，可得$$\dfrac 12\sin{2\alpha}+\dfrac 12\sin{2\beta}+\sin{(\alpha+\beta)}=a(a+1),$$和差化积，有$$\sin{(\alpha+\beta)}\cos{(\alpha-\beta)}+\sin{(\alpha+\beta)}=a^2+a.$$由以上三式可以解得\[\begin{split}\cos(\alpha-\beta)&=\dfrac{2a^2+2a-1}{2},\\\cos(\alpha+\beta)&=\dfrac{2a+1}{2a^2+2a+1},\\\sin(\alpha+\beta)&=\dfrac{2a^2+2a}{2a^2+2a+1}.\end{split}\]
答案
解析
备注
