已知 $\sin\alpha+\cos\beta=\dfrac{\sqrt 3}2$，$\cos\alpha+\sin\beta=\sqrt 2$，求 $\tan\alpha\cdot\cot\beta$ 的值．
【难度】
【出处】
2003年复旦大学保送生招生测试
【标注】
【答案】
$-\dfrac {7}{73}$
【解析】
两式分别平方相加得$$\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta=\sin(\alpha+\beta)=\dfrac 38.$$两式分别平方相减得$$\cos{2\alpha}-\cos{2\beta}+2(\cos\alpha\sin\beta-\sin\alpha\cos\beta)=\dfrac 54,$$即$$-2\sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta)-2\sin(\alpha-\beta)=\dfrac 54,$$从而得到 $\sin(\alpha-\beta)=-\dfrac 5{11}$，所以$$\tan\alpha\cdot\cot\beta=\dfrac {\sin\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\sin\beta}=\dfrac {\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)}{\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)}=-\dfrac {7}{73}.$$
答案
解析
备注
