在半径为 $2$ 的球面上有三个点 $A$、$B$、$C$，求 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$[-2,16]$
【解析】
考虑到连续性，只需要求出数量积的最大值和最小值即可．
先求最大值 由于$$2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\leqslant \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AC}\leqslant 4^2+4^2=32,$$等号当且仅当 $B=C$，且 $AB$、$AC$ 均为球的直径时取得，因此所求数量积的最大值为 $16$．
再求最小值 若 $A$ 与 $B$ 重合，或 $A$ 与 $C$ 重合，那么所求数量积为 $0$；
若 $B$ 与 $C$ 重合，则 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\geqslant 0$，但显然 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ 可以取到负值．
于是只需要考虑 $A$、$B$、$C$ 中没有重合的点的情形．此时 $A$、$B$、$C$ 必然共圆，设三角形 $ABC$ 的外接圆 $O$ 的半径为 $r$，则 $0<r\leqslant 2$．
如图，使用冻结变量法，在向量 $\overrightarrow{AB}$ 确定的情况下，连接 $OA$，设 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{AO}$ 所成角为 $\theta$．过圆心 $O$ 作 $\overrightarrow{AB}$ 所在基线的平行线，被圆截得直径 $MN$，分别作 $M$、$N$ 在基线上的投影 $M_1$、$N_1$，则有 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ 的取值范围是$$\left[\overrightarrow{AM_1}\cdot\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AN_1}\cdot\overrightarrow{AB}\right].$$事实上，有$$\overrightarrow{AM_1}\cdot\overrightarrow{AB}=-\left(r-r\cos\theta\right)\cdot 2r\cos\theta\geqslant -\dfrac 12r^2\geqslant -2,$$等号当且仅当 $\cos\theta=\dfrac 12 \text{且} r=2$ 时取得．
因此所求数量积的最小值为 $-2$．
若 $B$ 与 $C$ 重合，则 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\geqslant 0$，但显然 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ 可以取到负值．
于是只需要考虑 $A$、$B$、$C$ 中没有重合的点的情形．此时 $A$、$B$、$C$ 必然共圆，设三角形 $ABC$ 的外接圆 $O$ 的半径为 $r$，则 $0<r\leqslant 2$．
如图，使用冻结变量法，在向量 $\overrightarrow{AB}$ 确定的情况下，连接 $OA$，设 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{AO}$ 所成角为 $\theta$．过圆心 $O$ 作 $\overrightarrow{AB}$ 所在基线的平行线，被圆截得直径 $MN$，分别作 $M$、$N$ 在基线上的投影 $M_1$、$N_1$，则有 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ 的取值范围是$$\left[\overrightarrow{AM_1}\cdot\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AN_1}\cdot\overrightarrow{AB}\right].$$事实上，有$$\overrightarrow{AM_1}\cdot\overrightarrow{AB}=-\left(r-r\cos\theta\right)\cdot 2r\cos\theta\geqslant -\dfrac 12r^2\geqslant -2,$$等号当且仅当 $\cos\theta=\dfrac 12 \text{且} r=2$ 时取得．因此所求数量积的最小值为 $-2$．
答案
解析
备注
