已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足：$a_1=1$，$a_n=\dfrac{1}{a_{n+1}}-\dfrac 12$．
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛河北省预赛
【标注】
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求证：$a_n\geqslant \dfrac 23$；标注答案略解析根据已知可得 $a_{n+1}=\dfrac{2}{2a_n+1}$，设迭代函数 $f(x)=\dfrac{2}{2x+1}$，则 $a_{n+1}=f\left(a_n\right)$，如图．其中 $a_1=1$，$a_2=\dfrac 23$．
我们证明一个更强的结论：$$\dfrac 23\leqslant a_n\leqslant 1,$$用数学归纳法证明．
当 $n=1$ 时，命题显然成立．假设命题对 $n$ 成立，则由函数 $f(x)$ 在 $\left[\dfrac 23,1\right]$ 上单调递减可得$$f\left(\dfrac 23\right)\geqslant f\left(a_n\right)\geqslant f(1),$$即$$\dfrac 23\leqslant a_{n+1}\leqslant \dfrac 67\leqslant 1,$$从而命题对 $n+1$ 也成立．
综上，命题得证． -
求证：$\left|a_{2n}-a_n\right|<\dfrac{10}{27}$．标注答案略解析根据 $(1)$ 中已经证明的加强的结论可得数列 $\left\{a_n\right\}$ 中任意两项的差的绝对值不大于 $\dfrac 13$，因此命题显然成立．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
