已知数列 $\{a_n\}$，$\{b_n\}$ 满足条件：$a_1=b_1=1$，$a_{n+1}=a_n+2b_n$，$b_{n+1}=a_n+b_n$．证明：对每个正整数 $n$，下式成立：
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛山西省预赛
【标注】
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$\dfrac{a_{2n-1}}{b_{2n-1}}<\sqrt 2<\dfrac{a_{2n}}{b_{2n}}$；标注答案略解析由题意知$$\dfrac {a_{n+1}}{b_{n+1}}=\dfrac {a_n+2b_n}{a_n+b_n}=1+\dfrac 1{1+\dfrac {a_n}{b_n}},$$令 $c_n=\dfrac {a_n}{b_n}$，则有$$c_{n+1}=1+\dfrac 1{1+c_n},c_1=1.$$令 $f(x)=\dfrac {2+x}{1+x}$，则 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递减，且有不动点 $\sqrt 2$．下面用数学归纳法证明$$1\leqslant c_{2n-1}<\sqrt 2<c_{2n}\leqslant \dfrac 32.$$因为 $c_1=1,c_2=\dfrac 32$，所以 $n=1$ 时命题成立；
假设当 $n=k,k\in\mathbb{N}^*$ 时，有$$1\leqslant c_{2k-1}<\sqrt 2<c_{2k}\leqslant \dfrac 32,$$则有$$f(1)\geqslant f(c_{2k-1})>f(\sqrt 2)>f(c_{2k})\geqslant f\left(\dfrac 32\right)>1,$$即$$\dfrac 32\geqslant c_{2k}>\sqrt 2>c_{2k+1}>1.$$同样有$$1<c_{2k+1}<\sqrt 2<c_{2k+2}<\dfrac 32.$$所以当 $n=k+1$ 时命题成立．
综上知，不等式得证． -
$\left|\dfrac{a_{n+1}}{b_{n+1}}-\sqrt 2\right|<\left|\dfrac{a_n}{b_n}-\sqrt 2\right|$．标注答案略解析因为$$c_{n+1}-\sqrt 2=\dfrac {(\sqrt 2-1)(\sqrt 2-c_n)}{1+c_n},$$而$$\left|\dfrac {\sqrt 2-1}{1+c_n}\right|<|\sqrt 2-1|<1,$$所以不等式得证．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
