已知数列 $\{x_n\}$ 满足 $x_1=\dfrac 12$，$x_{n+1}=\dfrac 1{1+x_n},n\in \mathbb {N}^*$，证明：$\left|x_{n+1}-x_n\right|\leqslant \dfrac 16\left(\dfrac 25\right)^{n-1}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
考虑到\[\left|\dfrac{x_{n+1}-x_n}{x_n-x_{n-1}}\right|=\left|\dfrac{\dfrac{1}{1+x_n}-x_n}{x_n-\dfrac{1}{x_n}+1}\right|=\left|\dfrac{x_n}{1+x_n}\right|,\]而由迭代函数容易得到\[\dfrac 12\leqslant a_n\leqslant \dfrac 23,\]于是\[\left|\dfrac{x_{n+1}-x_n}{x_n-x_{n-1}}\right|\leqslant \left|\dfrac{\dfrac 23}{1+\dfrac 23}\right|=\dfrac 25,\]因此有\[\left|x_{n+1}-x_n\right|\leqslant\left|x_2-x_1\right|\cdot \left(\dfrac 25\right)^{n-1}=\dfrac 16\cdot \left(\dfrac 25\right)^{n-1},\]原命题得证．
答案
解析
备注
