已知直线过点 $M(2,1)$ 且与 $x$、$y$ 轴正半轴分别交于 $A$、$B$ 两点，$O$ 为坐标原点．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求三角形 $AOB$ 面积的最小值；标注答案$ 4 $解析设 $\angle BAO=x$，则\[\begin{split}S_{\triangle AOB}&=\dfrac 12OA\cdot OB\\&=\dfrac 12\left(2+\dfrac{1}{\tan x}\right)\left(1+2\tan x\right)\\&=2+2\tan x+\dfrac{1}{2\tan x}\geqslant 4,\end{split}\]等号当且仅当 $\tan x=\dfrac 12$ 时取得．
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求三角形 $AOB$ 周长的最小值．标注答案$ 10 $解析设 $\angle BAO=x$，则$$c_{\triangle AOB}=3+\dfrac{1}{\sin x}+\dfrac{2}{\cos x}+\dfrac{1}{\tan x}+2\tan x,$$令 $\tan\dfrac{x}{2}=t$，$t\in (0,1)$，则\[\begin{split}c_{\triangle AOB}&=3+\dfrac{1+t^2}{2t}+\dfrac{2\left(1+t^2\right)}{1-t^2}+\dfrac{1-t^2}{2t}+\dfrac{4t}{1-t^2}\\&=1+\dfrac{1}{t}+\dfrac{4}{1-t}\geqslant 10,\end{split}\]这里用到了柯西不等式，取得等号的条件是 $t=\dfrac{1}{3}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
