已知 $\forall x\in\mathbb R,a\cos{2x}+b\cos x\geqslant -1$，求 $a+b$ 的最大值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$2$
【解析】
考虑 $\cos x=\cos 2x$ 时 $x$ 的值，得到 $\cos x=1$ 或 $\cos x=-\dfrac 12$．
令 $\cos x=-\dfrac 12$，得到 $a+b\leqslant 2$，下面证明 $a+b=2$ 可以取到：
因为$$a\cos{2x}+(2-a)\cos x+1=2a\cos^2 x+(2-a)\cos x+1-a,$$因为$$(a-2)^2-8a(1-a)=(3a-2)^2\geqslant 0 ,$$所以当 $ a>0 $ 时，不等式恒成立，所以 $ a+b $ 可以取到 $ 2 $，从而知 $ a+b $ 的最大值为 $ 2$．
令 $\cos x=-\dfrac 12$，得到 $a+b\leqslant 2$，下面证明 $a+b=2$ 可以取到：
因为$$a\cos{2x}+(2-a)\cos x+1=2a\cos^2 x+(2-a)\cos x+1-a,$$因为$$(a-2)^2-8a(1-a)=(3a-2)^2\geqslant 0 ,$$所以当 $ a>0 $ 时，不等式恒成立，所以 $ a+b $ 可以取到 $ 2 $，从而知 $ a+b $ 的最大值为 $ 2$．
答案
解析
备注
