已知正数 $a,b,c$ 满足 $2a+4b+7c\leqslant 2abc$，求 $a+b+c$ 的最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$ \dfrac{15}{2} $
【解析】
将 $a+b+c$ 改写为\[\underbrace{\dfrac ax+\cdots+\dfrac ax}_{x}+\underbrace{\dfrac by+\cdots+\dfrac by}_{y}+\underbrace{\dfrac cz+\cdots+\dfrac cz}_{z}\geqslant (x+y+z)\left(\dfrac ax\right)^{\frac{x}{x+y+z}}\left(\dfrac by\right)^{\frac {y}{x+y+z}}\left(\dfrac cz\right)^{\frac {z}{x+y+z}},\]等号当且仅当 $\dfrac ax=\dfrac by=\dfrac cz$ 时取得．
此时条件变为\[\underbrace{\dfrac ax+\cdots+\dfrac ax}_{2x}+\underbrace{\dfrac by+\cdots+\dfrac by}_{4y}+\underbrace{\dfrac cz+\cdots+\dfrac cz}_{7z}\leqslant 2xyz\cdot\dfrac ax\cdot\dfrac by\cdot\dfrac cz,\]而不等式左边满足\[\underbrace{\dfrac ax+\cdots+\dfrac ax}_{2x}+\underbrace{\dfrac by+\cdots+\dfrac by}_{4y}+\underbrace{\dfrac cz+\cdots+\dfrac cz}_{7z}\geqslant (2x+4y+7z)\left(\dfrac ax\right)^{\frac {2x}{2x+4y+7z}}\left(\dfrac by\right)^{\frac {4y}{2x+4y+7z}}\left(\dfrac cz\right)^{\frac {7z}{2x+4y+7z}},\]于是有$$\left(\dfrac ax\right)^{\frac{4y+7z}{2x+4y+7z}}\left(\dfrac by\right)^{\frac{2x+7z}{2x+4y+7z}}\left(\dfrac cz\right)^{\frac{2x+4y}{2x+4y+7z}}\geqslant \dfrac {2x+4y+7z }{2xyz},$$等号当且仅当 $\dfrac ax=\dfrac by=\dfrac cz$ 时取得．
为了将以上两个不等式对接，需要$$\dfrac{x}{4y+7z}=\dfrac{y}{2x+7z}=\dfrac{z}{2x+4y},$$于是解方程组$$\begin{cases}4y+7z=\lambda x,\\2x+7z=\lambda y,\\2x+4y=\lambda z,\end{cases}$$可解得$$\lambda=8,$$于是可得$$x=6,y=5,z=4,$$进而$$a=3,b=\dfrac 52,c=2$$时 $a+b+c$ 取得最小值为 $\dfrac {15}2$．
此时条件变为\[\underbrace{\dfrac ax+\cdots+\dfrac ax}_{2x}+\underbrace{\dfrac by+\cdots+\dfrac by}_{4y}+\underbrace{\dfrac cz+\cdots+\dfrac cz}_{7z}\leqslant 2xyz\cdot\dfrac ax\cdot\dfrac by\cdot\dfrac cz,\]而不等式左边满足\[\underbrace{\dfrac ax+\cdots+\dfrac ax}_{2x}+\underbrace{\dfrac by+\cdots+\dfrac by}_{4y}+\underbrace{\dfrac cz+\cdots+\dfrac cz}_{7z}\geqslant (2x+4y+7z)\left(\dfrac ax\right)^{\frac {2x}{2x+4y+7z}}\left(\dfrac by\right)^{\frac {4y}{2x+4y+7z}}\left(\dfrac cz\right)^{\frac {7z}{2x+4y+7z}},\]于是有$$\left(\dfrac ax\right)^{\frac{4y+7z}{2x+4y+7z}}\left(\dfrac by\right)^{\frac{2x+7z}{2x+4y+7z}}\left(\dfrac cz\right)^{\frac{2x+4y}{2x+4y+7z}}\geqslant \dfrac {2x+4y+7z }{2xyz},$$等号当且仅当 $\dfrac ax=\dfrac by=\dfrac cz$ 时取得．
为了将以上两个不等式对接，需要$$\dfrac{x}{4y+7z}=\dfrac{y}{2x+7z}=\dfrac{z}{2x+4y},$$于是解方程组$$\begin{cases}4y+7z=\lambda x,\\2x+7z=\lambda y,\\2x+4y=\lambda z,\end{cases}$$可解得$$\lambda=8,$$于是可得$$x=6,y=5,z=4,$$进而$$a=3,b=\dfrac 52,c=2$$时 $a+b+c$ 取得最小值为 $\dfrac {15}2$．
答案
解析
备注
