已知 $2x+y=1$，求 $x+\sqrt{x^2+y^2}$ 的最值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
最小值为 $\dfrac 45$，不存在最大值
【解析】
令 $m=x+\sqrt{x^2+y^2}$，则$$x=\dfrac{m^2-y^2}{2m},$$因此$$2\cdot\dfrac{m^2-y^2}{2m}+y=1,$$整理得$$y^2-my+m-m^2=0,$$从而判别式$$\Delta=m^2-4(m-m^2)\geqslant 0,$$解得$$m\geqslant \dfrac 45.$$其中用到了 $m=x+\sqrt{x^2+y^2}\geqslant \sqrt{x^2+y^2}-\sqrt{x^2}\geqslant 0$．
答案
解析
备注
