已知 $x+2y+\sqrt{xy}=2$，求 $x+3y$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[\dfrac{12}7,3\right]$
【解析】
首先，$x\geqslant 0$，$y\geqslant 0$．否则$$x+2y+\sqrt{xy}\leqslant -2\sqrt{2xy}+\sqrt{xy}\leqslant 0,$$与已知条件矛盾．将参数引入均值不等式，有$$\sqrt{xy}\leqslant \dfrac 12\left(\lambda x+\dfrac{y}{\lambda}\right),\lambda>0$$于是$$2=x+2y+\sqrt{xy}=x+2y+\dfrac{\lambda}{2}\cdot x+\dfrac{1}{2\lambda}\cdot y=\left(1+\dfrac{\lambda}{2}\right)x+\left(2+\dfrac{1}{2\lambda}\right)y,$$令 $x$、$y$ 的系数比为 $1:3$ 得待定系数 $\lambda=\dfrac 13$，因此可得$$x+3y\geqslant \dfrac{12}{7},$$等号当 $x=9y=\dfrac 97$ 时取得．
也可以这样描述，设\[\begin{split}\lambda (x+3y)-2&=\lambda x+3\lambda y-x-2y-\sqrt{xy}\\&=\left(\lambda -1\right)x+\left(3\lambda -2\right)y-\sqrt{xy}\\&\geqslant 2\sqrt{\left(\lambda -1\right)\left(3\lambda -2\right)}\cdot \sqrt{xy}-\sqrt{xy},\end{split}\]令$$2\sqrt{\left(\lambda -1\right)\left(3\lambda -2\right)}=1,$$得 $\lambda=\dfrac 76$，于是可得$$x+3y\geqslant \dfrac{12}{7},$$等号当 $x=9y=\dfrac 97$ 时取得．
另一方面，有$$x+3y\leqslant \dfrac 32x+3y+\dfrac 32\sqrt{xy}=3,$$等号当 $x=0 \text{且} y=1$ 时取得．
因此所求代数式的取值范围为 $\left[\dfrac{12}7,3\right]$．
也可以这样描述，设\[\begin{split}\lambda (x+3y)-2&=\lambda x+3\lambda y-x-2y-\sqrt{xy}\\&=\left(\lambda -1\right)x+\left(3\lambda -2\right)y-\sqrt{xy}\\&\geqslant 2\sqrt{\left(\lambda -1\right)\left(3\lambda -2\right)}\cdot \sqrt{xy}-\sqrt{xy},\end{split}\]令$$2\sqrt{\left(\lambda -1\right)\left(3\lambda -2\right)}=1,$$得 $\lambda=\dfrac 76$，于是可得$$x+3y\geqslant \dfrac{12}{7},$$等号当 $x=9y=\dfrac 97$ 时取得．
另一方面，有$$x+3y\leqslant \dfrac 32x+3y+\dfrac 32\sqrt{xy}=3,$$等号当 $x=0 \text{且} y=1$ 时取得．
因此所求代数式的取值范围为 $\left[\dfrac{12}7,3\right]$．
答案
解析
备注
