已知 $x,y\in \mathbb R$，$\theta\in\left(\dfrac{\pi}4,\dfrac{\pi}2\right)$，且满足$$\begin{cases}\dfrac{\sin\theta}{x}=\dfrac{\cos\theta}{y},\\\dfrac{\cos^2\theta}{x^2}+\dfrac{\sin^2\theta}{y^2}=\dfrac{10}{3\left(x^2+y^2\right)}.\end{cases}$$求 $\dfrac{x}{y}$ 的值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\sqrt 3$
【解析】
已知条件中有三个变量，但只有两个方程，欲求的式子中不含 $\theta$，因此代数变形的策略应是想办法消去 $\theta$．
令 $\dfrac{x}{y}=t$，则$$\sin\theta=t\cos\theta,$$因此结合$$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1,$$得$$\sin^2\theta=\dfrac{t^2}{t^2+1},\cos^2\theta=\dfrac{1}{t^2+1},$$代入第二个式子中有$$\dfrac{1}{t^2+1}\cdot\dfrac{x^2+y^2}{x^2}+\dfrac{t^2}{t^2+1}\cdot\dfrac{x^2+y^2}{y^2}=\dfrac{10}{3},$$进而有$$\dfrac{1}{t^2+1}\cdot\dfrac{t^2+1}{t^2}+\dfrac{t^2}{t^2+1}\cdot\left(t^2+1\right)=\dfrac{10}{3},$$化简得$$3t^4-10t^2+3=0,$$解得$$t=\pm\dfrac{\sqrt 3}{3} \lor t=\pm\sqrt 3.$$由于 $t=\tan\theta\in\left(1,+\infty\right)$，因此所求 $\dfrac{x}{y}$ 的值为 $\sqrt 3$．
令 $\dfrac{x}{y}=t$，则$$\sin\theta=t\cos\theta,$$因此结合$$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1,$$得$$\sin^2\theta=\dfrac{t^2}{t^2+1},\cos^2\theta=\dfrac{1}{t^2+1},$$代入第二个式子中有$$\dfrac{1}{t^2+1}\cdot\dfrac{x^2+y^2}{x^2}+\dfrac{t^2}{t^2+1}\cdot\dfrac{x^2+y^2}{y^2}=\dfrac{10}{3},$$进而有$$\dfrac{1}{t^2+1}\cdot\dfrac{t^2+1}{t^2}+\dfrac{t^2}{t^2+1}\cdot\left(t^2+1\right)=\dfrac{10}{3},$$化简得$$3t^4-10t^2+3=0,$$解得$$t=\pm\dfrac{\sqrt 3}{3} \lor t=\pm\sqrt 3.$$由于 $t=\tan\theta\in\left(1,+\infty\right)$，因此所求 $\dfrac{x}{y}$ 的值为 $\sqrt 3$．
答案
解析
备注
