定义 $\rho (x,y)=\left|{\mathrm e}^x-y\right|-y\left|x-\ln y\right|$，其中 $x\in\mathbb R$，$y\in\mathbb R^+$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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若 $a>0$，$f(x)=\rho (x,a)$，求 $f(x)$ 在定义域内的零点的个数；标注答案$ 1 $解析由于函数 $f(x)$ 在 $x<\ln a$ 时单调递增，在 $x>\ln a$ 时单调递增，且当 $x=\ln a$ 时，$f(x)=0$，于是函数 $f(x)$ 在定义域内的零点个数为 $1$；
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设 $0<a<b$，函数 $F(x)=\rho (x,a)-\rho (x,b)$，求 $F(x)$ 的最小值；标注答案$F(x)$ 的最小值为 $F\left(\ln\dfrac{a+b}{2}\right)=a\ln\dfrac{2a}{a+b}+b\ln\dfrac{2b}{a+b}$解析考虑到$$F'(x)=\begin{cases}a-b,&x<\ln a\\2{\mathrm e}^x-a-b,&\ln a\leqslant x\leqslant \ln b\\b-a,&x>\ln b\end{cases}$$于是函数 $F(x)$ 的最小值为$$F\left(\ln\dfrac{a+b}{2}\right)=a\ln\dfrac{2a}{a+b}+b\ln\dfrac{2b}{a+b}.$$
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设 $(2)$ 中最小值为 $T(a,b)$，若各项都是正数的无穷数列 $\left\{a_n\right\}$ 单调递增，证明：对一切正整数 $n$，均有$$\sum_{i=1}^{n}{T\left(a_i,a_{i+1}\right)}<\left(a_{n+1}-a_1\right)\ln 2.$$标注答案略解析分析通项可知，欲证命题只需要证明$$\forall 0<a<b,T(a,b)<(b-a)\ln 2,$$即$$\forall 0<a<b,a\ln\dfrac{2a}{a+b}+b\ln\dfrac{2b}{a+b}<(b-a)\ln 2,$$令 $t=\dfrac{b}{a}$，$t>1$，则只需要证明$$\forall t>1,\ln\dfrac{2}{1+t}+t\ln\dfrac{2t}{t+1}<(t-1)\ln 2,$$该不等式很容易通过求导证明．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
