题目 设 $f_n(x)$ 是等比数列 $1,x,x^2,\cdots,x^n$ 的各项和，其中 $x>0$，$n\in\mathbb N$，$n\geqslant 2$． 问题1 证明：函数 $F_n(x)=f_n(x)-2$ 在 $\left(\dfrac 12,1\right)$ 内有且仅有一个零点（记为 $x_n$），且 $x_n=\dfrac 12+\dfrac 12x_n^{n+1}$； 答案1 略 解析1 根据已知，有$$F_n(x)=x+x^2+\cdots+x^n-1,$$于是$$F_n\left(\frac 12\right)=\frac 12+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{2^n}-1=-\frac{1}{2^n}<0,$$而$$F_n(1)=n-1>0.$$另一方面，考虑到在 $\left(\dfrac 12,1\right)$ 上$$F_n'(x)=1+2x+\cdots+nx^{n-1}>0,$$因此函数 $F_n(x)$ 在 $\left(\dfrac 12,1\right)$ 上单调递增．<br/>综合以上，函数 $F_n(x)$ 在 $\left(\dfrac 12,1\right)$ 内有且仅有一个零点．<br/>由$$x_n+x_n^2+\cdots+x_n^n-1=0$$可得$$\dfrac{x_n-x_n^{n+1}}{1-x_n}-1=0,$$整理即得$$x_n=\dfrac 12+\dfrac 12x_n^{n+1}.$$ 备注1 问题2 设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为 $g_n(x)$，比较 $f_n(x)$ 和 $g_n(x)$ 的大小，并加以证明． 答案2 当 $x=1$ 时，$f_n(x)=g_n(x)$；当 $x\neq 1$ 时，$f_n(x)<g_n(x)$ 解析2 当 $x=1$ 时，$f_n(x)=g_n(x)$；当 $x\neq 1$ 时，$f_n(x)<g_n(x)$，证明如下．<br/>根据题意描述，$n\geqslant 3$．<br/>考虑$$h_n(x)=f_n(x)-g_n(x)=1+x+x^2+\cdots+x^n-\frac{n+1}{2}\left(1+x^n\right)$$的导数\[\begin{split}h_n'(x)&=1+2x+\cdots+nx^{n-1}-\frac{n(n+1)}{2}\cdot x^{n-1}\\&=x^{n-1}\left[1\cdot\left(\frac 1x\right)^{n-1}+2\cdot \left(\frac 1x\right)^{n-2}+\cdots+n-\frac{n(n+1)}{2}\right],\end{split}\]于是函数 $h_n(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增．在 $(1,+\infty)$ 上单调递减．考虑到 $h_n(1)=0$，于是结论得证． 备注2 $(2)$ 的几何意义为指数函数图象的割线恒在指数函数图象的上方．因此也可以将 $x$ 视为常数，证明当 $x\neq 1$ 时$$x^k\leqslant 1+k\cdot\frac{x^n-1}{n}$$对 $k=0,1,2,\cdots,n$ 成立即可．<br/>每日一题[165]指数函数的凹凸性．