题目 设数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ 满足 $S_{n+1}=a_2S_n+a_1$，其中 $a_2\neq 0$． 问题1 求证：$\left\{a_n\right\}$ 是首项为 $1$ 的等比数列； 答案1 略 解析1 因为$$S_{n+1}=a_2S_n+a_1,S_n=a_2S_{n-1}+a_1,n\geqslant 2,$$两式相减得$$a_{n+1}=a_2a_n,n\geqslant 2.$$令 $n=1$ 得 $a_1+a_2=a_2a_1+a_1$，因为 $a_2\ne 0$，所以 $a_1=1$，从而有 $a_{n+1}=a_2a_n$ 对 $n\in\mathbb{N}^*$ 恒成立，而 $a_2\ne 0$，所以 $\{a_n\}$ 是首项为 $1$ 的等比数列． 备注1 问题2 若 $a_2>-1$，求证：$S_n\leqslant \dfrac n2\left(a_1+a_n\right)$ 并给出等号成立的充要条件． 答案2 略 解析2 因为 $S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$，所以$$2S_n=(a_1+a_n)+(a_2+a_{n-1})+\cdots+(a_n+a_1).$$下面证明$$a_k+a_{n+1-k}\leqslant a_1+a_n,k=1,2,\cdots,n.$$因为$$\begin{split} a_1+a_n-a_k-a_{n+1-k}=&a_1+a_1q^{n-1}-a_1q^{k-1}-a_1q^{n-k}\\=&a_1(1-q^{n-k})(1-q^{k-1})\\=&(1-q^{n-k})(1-q^{k-1}).\end{split}$$因为 $n-k,k-1\in\mathbb{N}^*$，所以<br/>当 $q\in(-1,0)\cup(0,1)$ 时，$q^{k-1},q^{n-k}<1$，不等式得证；<br/>当 $q>1$ 时，$q^{k-1},q^{n-k}>1$，不等式得证；<br/>当 $q=1$ 时，$q^{k-1},q^{n-k}=1$，等号成立；<br/>综上知，不等式得证，且等号成立的充要条件是 $a_2=1$． 备注2 每日一题[165]指数函数的凹凸性的练习．