题目 已知函数 $f(x)=x^3+ax^2+b$（$a,b\in\mathbb R$）． 问题1 试讨论 $f(x)$ 的单调性； 答案1 当 $a=0$ 时，$f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上单调递增；<br/>当 $a<0$ 时，$f(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 和 $\left(-\dfrac {2a}3,+\infty\right)$ 上单调递增，在 $\left(0,-\dfrac{2a}3\right)$ 上单调递减；<br/>当 $a>0$ 时，$f(x)$ 在 $\left(-\infty,-\dfrac{2a}3\right)$ 和 $(0,+\infty)$ 上单调递增，在 $\left(-\dfrac{2a}3,0\right)$ 上单调递减 解析1 根据已知有$$f'(x)=3x^2+2ax,$$于是<br/><case>情形一</case>当 $a=0$ 时，$f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上单调递增；<br/><case>情形二</case>当 $a<0$ 时，$f(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 和 $\left(-\dfrac {2a}3,+\infty\right)$ 上单调递增，在 $\left(0,-\dfrac{2a}3\right)$ 上单调递减；<br/><case>情形三</case>当 $a>0$ 时，$f(x)$ 在 $\left(-\infty,-\dfrac{2a}3\right)$ 和 $(0,+\infty)$ 上单调递增，在 $\left(-\dfrac{2a}3,0\right)$ 上单调递减． 备注1 问题2 若 $b=c-a$（实数 $c$ 是与 $a$ 无关的常数），当函数 $f(x)$ 有三个不同的零点时，$a$ 的取值范围恰好是 $\left(-\infty,-3\right)\cup\left(1,\dfrac 32\right)\cup\left(\dfrac 32,+\infty\right)$，求 $c$ 的值． 答案2 $ 1 $ 解析2 函数 $f(x)$ 有三个不同零点等价于 $f(x)$ 的极大值与极小值异号，即$$f(0)\cdot f\left(-\dfrac{2a}3\right)<0,$$也即$$(c-a)\left(\dfrac{4}{27}a^3+c-a\right)<0,$$整理得$$(a-c)\left(a^3-\dfrac{27}4a+\dfrac {27}4c\right)>0.$$<img src="/static/images/ebfb50d29c328006593de1047814de7f.png" class="img-responsive" />该不等式的解为 $\left(-\infty,-3\right)\cup\left(1,\dfrac 32\right)\cup\left(\dfrac 32,+\infty\right)$，于是对应的四次不等式为$$(a+3)(a-1)\left(a-\dfrac 32\right)^2>0,$$对比系数解得 $c=1$，因此所求的 $c$ 的值为 $1$． 备注2 每日一题[185]解高次不等式．