已知椭圆 $\dfrac{x^2}{2}+y^2=1$ 上有两个不同的点 $A$、$B$ 关于直线 $y=mx+\dfrac 12$ 对称．
【难度】
【出处】
2015年高考浙江卷（理）
【标注】
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求实数 $m$ 的取值范围；标注答案$\left(-\infty,-\dfrac{\sqrt 6}{3}\right)\cup\left(\dfrac{\sqrt 6}{3},+\infty\right)$解析如图，设线段 $AB$ 的中点为 $M(x_0,y_0)$，
则由椭圆的"垂径定理"可得$$\begin{cases}\dfrac{y_0-\frac 12}{x_0}=m,\\-\dfrac 1m\cdot\dfrac{y_0}{x_0}=-\dfrac 12,\end{cases}$$解得$$x_0=-\dfrac 1m,y_0=-\dfrac 12,$$结合条件 $\dfrac{x_0^2}2+y_0^2<1$ 可得对 $m$ 的约束$$\dfrac{1}{2m^2}+\dfrac 14<1,$$即$$m<-\dfrac{\sqrt 6}{3}\lor m>\dfrac{\sqrt 6}{3}.$$ -
求三角形 $OAB$ 面积的最大值（$O$ 为坐标原点）．标注答案$\dfrac {\sqrt 2}{2}$解析如图，作仿射变换$$\begin{cases}x'=x,\\y'=\sqrt 2y,\end{cases}$$将椭圆变成半径为 $\sqrt 2$ 的圆．
此时三角形 $OA'B'$ 的边 $A'B'$ 的中点 $M'$ 在直线 $y'=-\dfrac{\sqrt 2}2$ 上运动，于是\[\begin{split}S_{\triangle OA'B'}&=\dfrac 12\cdot 2\sqrt{2-OM'^2}\cdot OM'\\&=OM'\cdot\sqrt{2-OM'^2}\\&=\sqrt{OM'^2\left(2-OM'^2\right)}\\&\leqslant 1,\end{split}\]等号当且仅当 $OM'=1$ 时取得．
于是三角形 $OAB$ 面积的最大值为 $\dfrac {\sqrt 2}{2}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
