已知实数 $a,b,x,y$ 满足$$\begin{cases}ax+by=3,\\ax^2+by^2=7,\\ax^3+by^3=16,\\ax^4+by^4=42,\end{cases}$$求 $ax^5+by^5$ 的值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$ 20 $
【解析】
记 $A_n=ax^n+by^n$，其中 $n=1,2,\cdots$，则$$A_n=(x+y)A_{n-1}-xyA_{n-2},n\geqslant 3,$$分别取 $n=3,4$ 可得$$\begin{cases}7(x+y)-3xy=16,\\16(x+y)-7xy=42,\end{cases}$$解得$$\begin{cases}x+y=-14,\\xy=-38,\end{cases}$$因此$$A_5=-14A_4+38A_3=20.$$
答案
解析
备注
