已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $\dfrac{a_{n+1}+a_n-1}{a_{n+1}-a_n+1}=n$，其中 $n\in \mathbb N^*$，且 $a_2=6$，求 $\{a_n\}$ 的通项公式．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$a_n=n(2n-1)$，$n\in\mathbb N^*$
【解析】
根据已知，不难推得$$a_{n+1}=\dfrac{n+1}{n-1}a_n-\dfrac{n+1}{n-1},n=2,3,\cdots$$且 $a_1=1$．对于 $a_n=f(n)\cdot a_{n-1}+g(n)$ 类型的递推公式，可以迭代得到通项$$a_n=\left[\prod_{k=2}^nf(k)\right] a_1+\left[\prod_{k=3}^nf(k)\right]g(2)+\cdots+f(n)g(n-1)+g(n).$$当 $n\geqslant 2\land n\in\mathbb N^*$ 时，由原式得\[\begin{split}a_n&=\dfrac{n}{n-2}\cdot a_{n-1}-\dfrac{n}{n-2}\\&=\dfrac{n}{n-2}\cdot\dfrac{n-1}{n-3}\cdot a_{n-2}-\dfrac{n}{n-2}\cdot\dfrac{n-1}{n-3}-\dfrac{n}{n-2}\\&= \cdots\\&=\dfrac{n}{n-2}\cdot\dfrac{n-1}{n-3}\cdots\dfrac{3}{1}\cdot a_2-\dfrac{n}{n-2}\cdot\dfrac{n-1}{n-3}\cdots\dfrac{3}{1}-\dfrac{n}{n-2}\cdot\dfrac{n-1}{n-3}-\dfrac{n}{n-2}\\&=\dfrac{n\cdot (n-1)}{2\cdot 1}\cdot 6-\dfrac{n\cdot (n-1)}{2\cdot 1}-\cdots-\dfrac{n\cdot (n-1)}{(n-2)\cdot (n-3)}-\dfrac{n}{n-2}\\&=3n(n-1)-n(n-1)\cdot\left[\dfrac{1}{1\cdot 2}+\cdots+\dfrac{1}{(n-3)\cdot (n-2)}\right]-\dfrac n{n-2}\\&=3n(n-1)-n(n-1)\cdot\left[1-\dfrac 1{n-2}\right]-\dfrac n{n-2}\\&=2n^2-n,\end{split}\]又 $a_1=1$ 符合该式，所以 $a_n=n(2n-1)$，$n\in\mathbb N^*$．
答案
解析
备注
