已知正数 $a,b,c$ 满足 $a+b+c=3$，求证：$\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c\geqslant ab+bc+ca$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
利用恒等式$$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca,$$可得欲证不等式即$$2\sqrt a+2\sqrt b+2\sqrt c\geqslant 9-a^2-b^2-c^2,$$考虑函数 $f(x)=2\sqrt x+x^2$ 在 $x=1$ 处的切线 $y=3x$，如图．
于是可得局部不等式$$2\sqrt a+a^2\geqslant 3a,$$该不等式也可以对 $\sqrt a+\sqrt a+a^2$ 运用算术-几何平均值不等式得到，等号取得的条件为 $a=1$．
因此原不等式得证．
于是可得局部不等式$$2\sqrt a+a^2\geqslant 3a,$$该不等式也可以对 $\sqrt a+\sqrt a+a^2$ 运用算术-几何平均值不等式得到，等号取得的条件为 $a=1$．因此原不等式得证．
答案
解析
备注
