已知实数 $x,y$ 满足$$\left(\sqrt{x^2+2015}-y\right)\cdot\left(\sqrt{y^2+2015}-x\right)=2015,$$求 $x+y$ 的值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$0$
【解析】
根据已知，有$$\sqrt{x^2+2015}-y=\dfrac{2015\left(\sqrt{y^2+2015}+x\right)}{y^2-x^2+2015},$$整理得$$\left(x^2-y^2\right)\left(y-\sqrt{x^2+2015}\right)+\dfrac{2015\left(x^2-y^2\right)}{\sqrt{x^2+2015}+\sqrt{y^2+2015}}-2015(x+y)=0,$$于是有 $x+y=0$，或$$\left(x-y\right)\left(y-\sqrt{x^2+2015}\right)+\dfrac{2015(x-y)}{\sqrt{x^2+2015}+\sqrt{y^2+2015}}-2015=0,$$类似的，考虑到 $x,y$ 的对称性，若 $x+y\neq 0$ 则必然亦有$$\left(y-x\right)\left(x-\sqrt{y^2+2015}\right)+\dfrac{2015(y-x)}{\sqrt{y^2+2015}+\sqrt{x^2+2015}}-2015=0,$$两式相加有$$(x-y)\left(y-x+\sqrt{y^2+2015}-\sqrt{x^2+2015}\right)-4030=0,$$即$$-(x-y)^2\left(1+\dfrac{x+y}{\sqrt{x^2+2015}+\sqrt{y^2+2015}}\right)=4030,$$事实上，有$$x+y\geqslant -\sqrt{x^2+2015}-\sqrt{y^2+2015},$$因此$$-(x-y)^2\left(1+\dfrac{x+y}{\sqrt{x^2+2015}+\sqrt{y^2+2015}}\right)\leqslant 0,$$矛盾．
经验证，$x+y=0$ 时原式成立，因此 $x+y$ 的值为 $0$．
经验证，$x+y=0$ 时原式成立，因此 $x+y$ 的值为 $0$．
答案
解析
备注
