已知实数 $x,y$ 满足$$\left(\sqrt{x^2+2009}-x\right)\cdot\left(\sqrt{y^2+2009}-y\right)=2009,$$求 $x+y$ 的值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据已知，有$$\sqrt{x^2+2009}-x=\dfrac{2009}{\sqrt{y^2+2009}-y}=\sqrt{y^2+2009}+y,$$于是有$$x+y=\dfrac{x^2-y^2}{\sqrt{x^2+2009}+\sqrt{y^2+2009}},$$于是 $x+y=0$，或$$x-y=\sqrt{x^2+2009}+\sqrt{y^2+2009}.$$考虑到 $x,y$ 的对称性，若 $x+y\neq 0$ 则必然亦有$$y-x=\sqrt{y^2+2009}+\sqrt{x^2+2009},$$两式相加得$$0=2\sqrt{x^2+2009}+2\sqrt{y^2+2009},$$矛盾．
经验证，$x+y=0$ 时原式成立，因此 $x+y$ 的值为 $0$．
经验证，$x+y=0$ 时原式成立，因此 $x+y$ 的值为 $0$．
答案
解析
备注
