已知 $x,y,z$ 均为非负实数，$x+y+z=3$，求证：$x^2y+y^2z+z^2x\leqslant 4$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
注意到等号当 $(x,y,z)=(2,1,0)$ 时取得．
不妨设 $x$ 为最大数，以 $x$ 为主要目标整理：$$x^2y+y^2z+z^2x=x^2y+z\left(xz+y^2\right),$$取$$\left(x+\dfrac 12z\right)^2\left(y+\dfrac 12z\right)=x^2y+z\left(xy+\dfrac 12x^2+\dfrac 12xz+\dfrac 14yz+\dfrac 18z^2\right),$$不难得到$$x^2y+y^2z+z^2x\leqslant \left(x+\dfrac 12z\right)^2\left(y+\dfrac 12z\right),$$接下来应用均值不等式即得\[\begin{split}\left(x+\dfrac 12z\right)^2\left(y+\dfrac 12z\right)&=\dfrac{1}{2}\cdot\left(x+\dfrac 12z\right)\cdot\left(x+\dfrac 12z\right)\cdot\left(2y+z\right)\\&\leqslant \dfrac{1}{2}\cdot\left(\dfrac{x+\dfrac 12z+x+\dfrac 12z+2y+z}{3}\right)^3\\&=4,\end{split}\]原不等式得证．
不妨设 $x$ 为最大数，以 $x$ 为主要目标整理：$$x^2y+y^2z+z^2x=x^2y+z\left(xz+y^2\right),$$取$$\left(x+\dfrac 12z\right)^2\left(y+\dfrac 12z\right)=x^2y+z\left(xy+\dfrac 12x^2+\dfrac 12xz+\dfrac 14yz+\dfrac 18z^2\right),$$不难得到$$x^2y+y^2z+z^2x\leqslant \left(x+\dfrac 12z\right)^2\left(y+\dfrac 12z\right),$$接下来应用均值不等式即得\[\begin{split}\left(x+\dfrac 12z\right)^2\left(y+\dfrac 12z\right)&=\dfrac{1}{2}\cdot\left(x+\dfrac 12z\right)\cdot\left(x+\dfrac 12z\right)\cdot\left(2y+z\right)\\&\leqslant \dfrac{1}{2}\cdot\left(\dfrac{x+\dfrac 12z+x+\dfrac 12z+2y+z}{3}\right)^3\\&=4,\end{split}\]原不等式得证．
答案
解析
备注
