已知对任何实数 $x,y$,不等式$$ax^2y^2+x^2+y^2-3xy+a-1\geqslant 0$$恒成立,求常数 $a$ 的取值范围.
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[\dfrac{1+\sqrt 2}2,+\infty\right)$
【解析】
有代价的消元(因为没有限制方程)减少变元,得到必要条件,然后探索充分性;观察代数式可以知道当 $x,y$ 异号时比同号时更容易成立,于是只需要考虑 $x,y$ 同号的情形.注意到变元对称,于是令 $y=x$,有$$ax^4-x^2+a-1\geqslant 0$$恒成立,不难解得$$a\geqslant \dfrac{1+\sqrt 2}2.$$这样就得到了必要条件.而另一方面,不等式左边$$ax^2y^2+x^2+y^2-3xy+a-1\geqslant a(xy)^2-xy+a-1,$$而 $a\geqslant \dfrac{1+\sqrt 2}2$ 时,一元二次方程$$ax^2-x+a-1=0$$的判别式的值小于等于零,于是 $a\geqslant \dfrac{1+\sqrt 2}2$ 时可以保证$$a(xy)^2-xy+a-1\geqslant 0.$$这样就验证了充分性.因此常数 $a$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{1+\sqrt 2}2,+\infty\right)$.
答案
解析
备注