已知函数 $f(x)=x^3+ax+\dfrac 14$，$g(x)=-\ln x$．
【难度】
【出处】
2015年高考全国Ⅰ卷（理）
【标注】
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当 $a$ 为何值时，$x$ 轴为曲线 $y=f(x)$ 的切线；标注答案$-\dfrac 34$解析根据已知，$f'(x)=3x^2+a$．若 $x$ 轴为曲线 $y=f(x)$ 的切线，设切点横坐标为 $t$，则有$$\begin{cases}f(t)=0,\\f'(t)=0,\end{cases}$$即$$\begin{cases}t^3+at+\dfrac 14=0,\\3t^2+a=0,\end{cases}$$解得$$t=\dfrac 12,a=-\dfrac 34.$$所以当 $a$ 的值为 $-\dfrac 34$ 时，$x$ 轴为曲线 $y=f(x)$ 的切线．
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用 $\min\{m,n\}$ 表示 $m,n$ 中的最小值，设函数 $h(x)=\min\left\{f(x),g(x)\right\}(x>0)$，讨论 $h(x)$ 零点的个数．标注答案$$\begin{cases}1,&a<-\dfrac 54\lor a>-\dfrac 34,\\2,&a=-\dfrac 54 \lor a=-\dfrac 34,\\3,&-\dfrac 54<a<-\dfrac 34.\end{cases}$$解析先分析 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上的零点个数．这些零点均为函数 $h(x)$ 的零点．
由于方程 $x^3+ax+\dfrac 14=0$ 即$$-a=x^2+\dfrac 1{4x},$$因此 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上的零点个数即直线 $y=-a$ 与函数 $\varphi(x)=x^2+\dfrac{1}{4x}$（$0<x<1$）图象的交点个数．
函数 $\varphi (x)$ 的导函数$$\varphi'(x)=\dfrac{8x^3-1}{4x^2},$$因此 $\varphi(x)$ 在 $\left(0,\dfrac 12\right)$ 上单调递减，在 $x=\dfrac 12$ 处取得极小值 $\dfrac 34$，在 $\left(\dfrac 12,1\right)$ 上单调递增，如图．
因此函数 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上的零点个数是$$\begin{cases} 0,-a<\dfrac 34,\\1,-a\geqslant\dfrac 54\lor-a=\dfrac 34,\\2,\dfrac 34<-a<\dfrac 54,\end{cases}$$即$$\begin{cases} 0,a>-\dfrac 34,\\1,a\leqslant -\dfrac 54\lor a=-\dfrac 34,\\2,-\dfrac 54<a<-\dfrac 34,\end{cases}$$接下来分析 $x=1$ 是否为函数 $h(x)$ 的零点．
由于 $f(1)=a+\dfrac 54$，于是当 $a\geqslant -\dfrac 54$ 时，$x=1$ 是函数 $h(x)$ 的零点；当 $a<-\dfrac 54$ 时，$x=1$ 不是函数 $h(x)$ 的零点．
综上，函数 $h(x)$ 的零点个数为$$\begin{cases}1,&a<-\dfrac 54\lor a>-\dfrac 34,\\2,&a=-\dfrac 54 \lor a=-\dfrac 34,\\3,&-\dfrac 54<a<-\dfrac 34.\end{cases}$$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
