题目 已知函数 $f(x)=a\ln x+\dfrac 1x+\dfrac 1{2x^2}$，$a\in\mathbb R$． 问题1 讨论函数 $f(x)$ 的单调性； 答案1 当 $a \leqslant 0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $\mathbb R^+$ 上单调递减；<br/>当 $a>0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $\left(0,\dfrac{1+\sqrt{1+4a}}{2a} \right) $ 上单调递减，在 $\left(\dfrac{1+\sqrt {1+4a}}{2a},+ \infty \right) $ 上单调递增 解析1 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)=\dfrac 1{x^3}\left(ax^2-x-1\right) ,$$进而可得：<br/><case>情形一</case>当 $a \leqslant 0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $\mathbb R^+$ 上单调递减；<br/><case>情形二</case>当 $a>0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $\left(0,\dfrac{1+\sqrt{1+4a}}{2a} \right) $ 上单调递减，在 $\left(\dfrac{1+\sqrt {1+4a}}{2a},+ \infty \right) $ 上单调递增． 备注1 问题2 证明：$(x-1)\left({\rm e} ^{-x}-x\right)+2\ln x<\dfrac 23$． 答案2 略 解析2 在 $(1)$ 中取 $a=2$，则可得$$2\ln x+\dfrac 1x+\dfrac 1{2x^2}\geqslant f(1)=\dfrac 32,$$将其中的 $x$ 用 $\dfrac 1x$ 替换，可得$$-2\ln x+x+\dfrac{x^2}2\geqslant \dfrac 32,$$即$$2\ln x\leqslant x+\dfrac{x^2}2-\dfrac 32.$$将上述不等式代入欲证明不等式的左边，有\[\begin{split} (x-1)\left({\rm e} ^{-x}-x\right)+2\ln x &<(x-1)\cdot {\rm e} ^{-x}-x^2+x+\left(x+\dfrac{x^2}2-\dfrac 32\right)\\&=(x-1)\cdot {\rm e} ^{-x}-\dfrac{x^2}2+2x-\dfrac 32,\end{split}\]设右侧函数为 $g(x)$，则 $g(x)$ 的导函数$$g'(x)=(2-x)\left({\rm e} ^{-x}+1\right),$$于是$$g(x)\leqslant g(2)=\dfrac{1}{{\rm e} ^2} +\dfrac 12<\dfrac 23,$$因此原不等式得证． 备注2 每日一题[300]避繁就简．