设点 $O$ 为椭圆的中心，点 $A$ 为椭圆上异于顶点的任意一点，过点 $A$ 作长轴的垂线，垂足为 $M$，连接 $AO$ 并延长交椭圆于另一点 $B$，连接 $BM$ 并延长交椭圆于点 $C$，问是否存在椭圆，使得 $BA\perp CA$？
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛山东省预赛
【标注】
【答案】
存在
【解析】
假设存在满足条件的椭圆，设椭圆方程为 $\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$．记 $A(m,n)$，$B(-m,-n)$，$M(m,0)$，则根据椭圆的"垂径定理"，有$$k_{CA}\cdot k_{CB}=-\dfrac{b^2}{a^2},$$而$$k_{CA}=-\dfrac{1}{k_{AB}}=-\dfrac mn,$$且$$k_{CB}=k_{BM}=\dfrac{n}{2m},$$于是可得$$\left(-\dfrac mn\right)\cdot\dfrac{n}{2m}=-\dfrac{b^2}{a^2},$$化简得$$a^2=2b^2.$$因此存在符合题意的椭圆使得 $BA\perp CA$，只需椭圆的离心率为 $\dfrac{\sqrt 2}2$ 即可．
答案
解析
备注
