曲线 $C:y=\dfrac 1x(x>0)$ 上是否存在两点 $M,N$，使得 $\triangle OMN$ 为等腰直角三角形？
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
存在
【解析】
本题涉及到如何确定一个等腰直角三角形，我们在曲线 $C$ 上任取一点 $M$，将 $OM$ 逆时针旋转 $45^\circ$ 与 $C$ 相交得到点 $N$，取 $\dfrac{OM}{ON}$ 为特征量，考查当 $M$ 在曲线上移动时这个量的可能取值，如图．
当 $\dfrac{OM}{ON}$ 的值为 $\sqrt{2}$ 或 $\dfrac{\sqrt 2}{2}$ 时，$\triangle OMN$ 为等腰直角三角形．结合图象可知，存在符合题意的两点 $M,N$．
当 $\dfrac{OM}{ON}$ 的值为 $\sqrt{2}$ 或 $\dfrac{\sqrt 2}{2}$ 时，$\triangle OMN$ 为等腰直角三角形．结合图象可知，存在符合题意的两点 $M,N$．
答案
解析
备注
