已知不等式 $x^2-2ax+2\geqslant a$ 对任意 $x \geqslant -1$ 都成立，求实数 $a$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$[-3,1]$
【解析】
设函数 $f(x)=x^2-2ax+2-a$，则$$f(-1)=a+3\geqslant 0,$$于是$$a\geqslant -3.$$此时考虑对称轴 $x=a$．
当 $-3 \leqslant a\leqslant -1$ 时，函数 $(x)$ 在 $[-1,+\infty )$ 上单调递增，显然符合题意；
当 $a>-1$ 时，只需要判别式$$\Delta=4(a+2)(a-1)\leqslant 0,$$即$$-2\leqslant a\leqslant 1,$$结合前提，有$$-1<a\leqslant 1.$$综上，$a$ 的取值范围是 $[-3,1]$．
当 $-3 \leqslant a\leqslant -1$ 时，函数 $(x)$ 在 $[-1,+\infty )$ 上单调递增，显然符合题意；
当 $a>-1$ 时，只需要判别式$$\Delta=4(a+2)(a-1)\leqslant 0,$$即$$-2\leqslant a\leqslant 1,$$结合前提，有$$-1<a\leqslant 1.$$综上，$a$ 的取值范围是 $[-3,1]$．
答案
解析
备注
