已知函数 $f(x)=x|x+a|+m|x-1|$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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$a=0$，$m=1$ 时，求函数 $f(x)$ 的单调性；标注答案函数在 $\left(-\infty,-\dfrac 12\right)$ 上单调递增，在 $\left(-\dfrac 12,\dfrac 12\right)$ 上单调递减，在 $\left(\dfrac 12,+\infty\right )$ 上单调递增解析此时函数$$f(x)=\begin{cases} x^2+x-1,x\geqslant 1,\\ x^2-x+1,0<x<1,\\-x^2-x+1,x\leqslant 0\end{cases}$$因此函数在 $\left(-\infty,-\dfrac 12\right)$ 上单调递增，在 $\left(-\dfrac 12,\dfrac 12\right)$ 上单调递减，在 $\left(\dfrac 12,+\infty\right )$ 上单调递增．
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若函数 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上取得最大值 $a+1$，求 $m$ 的取值范围（用 $a$ 表示）．标注答案$(-\infty,-a-3]$，其中 $a\geqslant -1$解析由于 $a+1$ 是函数 $f(x)$ 的最大值，因此$$a+1\geqslant f(1)=|a+1|,$$于是 $a\geqslant -1$．
此时$$f(0)=m\leqslant a+1,f(2)=2a+4+m\leqslant a+1,$$从而$$m\leqslant -a-3.$$下面证明 $m\leqslant -a-3$ 时符合题意．情形一 $a\geqslant 0$．
此时函数 $f(x)$ 被分界点 $1$ 分为两段．在区间 $[0,1)$ 和区间 $[1,2]$ 上的抛物线均开口向上，结合 $f(0)$ 与 $f(2)$ 均不超过 $a+1$，因此函数 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上的最大值为 $a+1$，符合题意；情形二 $a=-1$．
此时函数 $f(x)=(x+m)\cdot \big|x-1\big|$，当 $m\leqslant -a-3=-2$ 时，有 $x+m\leqslant 0$，因此 $f(x)\leqslant 0$，符合题意．情形三 $-1< a<0$．
此时函数 $f(x)$ 被分界点 $-a,1$ 分为三段．
先考虑分界点 $x=-a$ 处的函数值，有$$f(-a)=m(1+a)< a+1.$$在区间 $[0,-a)$ 上的抛物线开口向下，而对称轴为 $x=-\dfrac{m+a}2$．由 $m\leqslant -a-3$ 可得$$-\dfrac{m+a}2\geqslant \dfrac 32>1\geqslant -a,$$因此有$$f(x)< f(-a)< a+1.$$在区间 $[-a,1)$ 和 $[1,2]$ 上，抛物线均开口向上，结合 $f(-a)$ 和 $f(2)$ 均不超过 $a+1$，因此函数 $f(x)$ 在 $[-a,2]$ 上的最大值为 $a+1$．
综上所述，$m$ 的取值范围是 $(-\infty,-a-3]$，其中 $a\geqslant -1$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
