已知函数 $f\left(x\right)=x\cos x-\sin x$，$x\in\left[0,\dfrac{{\mathrm{\mathrm\pi}}}{2}\right]$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
求证：$f\left(x\right) \leqslant 0$；标注答案略解析因为 $x\in\left[0,\dfrac {\pi}2\right]$ 时，有$$f'(x)=\cos x-x\sin x-\cos x=-x\sin x\leqslant 0,$$所以 $f(x)$ 单调递减，又 $f(0)=0$，所以 $f(x)\leqslant 0$．
-
证明：函数 $g(x)=\dfrac {\sin x}{x}$，$x\in\left(0,\dfrac {\pi}{2}\right )$ 是减函数，且有 $\dfrac {2}{\pi}<g(x)<1$．标注答案略解析对 $g(x)$ 求导得$$g'(x)=\dfrac {x\cos x-\sin x}{x^2},$$由 $(1)$ 知$$\forall x\in\left[0,\dfrac {\pi}2\right],g'(x)\leqslant 0,$$所以 $ g(x)$ 在 $ \left(0,\dfrac {\pi}2\right)$ 上单调递减，从而$$g(x)>g\left(\dfrac {\pi}2\right)=\dfrac 2{\pi}.$$又因为 $\sin x<x$，所以 $g(x)<1$，不等式得证．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
