已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$a_{n+1}=\dfrac{1}{2a_n+1}$（$n\in\mathbb N^*$）．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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证明：数列 $\left\{\left|a_n-\dfrac 12\right|\right\}$ 为单调递减数列；标注答案略解析利用不动点 $\dfrac 12$ 进行变形：$$\left|\dfrac{a_{n+1}-\frac 12}{a_n-\frac 12}\right|=\dfrac{1}{2a_n+1},$$而可以证明 $\dfrac 13\leqslant a_n \leqslant 1$．
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记 $S_n$ 为数列 $\left\{\left|a_{n+1}-a_n\right|\right\}$ 的前 $n$ 项和，证明：$S_n<\dfrac 53$（$n\in\mathbb N^*$）．标注答案略解析因为$$|a_{n+1}-a_n|=\left|a_{n+1}-\dfrac 12\right |+\left|a_n-\dfrac 12\right|,$$为了控制放缩的程度，尝试后将前两项单独处理，得到\[S_n<|a_2-a_1|+\left|a_2-\dfrac {1}{2}\right|+2\sum_{i=3}^{n+1}{\left|a_i-\dfrac{1}{2}\right|}\]等比放缩即得．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
