对任意正整数 $n$，设 $a_n$ 是方程 $x^2+\dfrac xn=1$ 的正根．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求证：$a_{n+1}>a_n$；标注答案略解析显然有 $0<a_n<1$．根据题意，有$$(n+1)a_{n+1}^2+a_{n+1}=n+1,na_n^2+a_n=n,$$两式相减得$$n(a_{n+1}^2-a_n^2)+a_{n+1}^2+a_{n+1}-a_n=1,$$即$$(a_{n+1}-a_n)\cdot\left[n(a_{n+1}+a_n)+1\right]=1-a_{n+1}^2>0,$$因此 $a_{n+1}>a_n$．
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求证：$\dfrac{1}{2a_2}+\dfrac{1}{3a_3}+\cdots +\dfrac{1}{na_n}<1+\dfrac 12+\dfrac 13+\cdots +\dfrac 1n$．标注答案略解析由于$$na_n^2+a_n=n,$$于是$$na_n=\dfrac{n}{a_n}-1>n-1,$$因此$$\dfrac{1}{na_n}<\dfrac{1}{n-1},$$于是$$\dfrac{1}{2a_2}+\dfrac{1}{3a_3}+\cdots +\dfrac{1}{na_n}<1+\dfrac 12+\cdots +\dfrac 1{n-1},$$原不等式得证．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
