已知 $a,b,c>0$，且 $a^2+b^2+4c^2=1$，求 $ab+2ca+3\sqrt 2bc$ 的最大值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\sqrt 2$
【解析】
冻结 $a$，则$$b^2+c^2=1-a^2,$$而\[\begin{split} ab+ca+\dfrac{3}{\sqrt 2}bc\leqslant &a\cdot \sqrt{2(b^2+c^2)}+\dfrac{3}{\sqrt 2}\cdot\dfrac{b^2+c^2}{2}\\=&a\cdot\sqrt{2(1-a^2)}+\dfrac{3}{2\sqrt 2}\cdot (1-a^2),\end{split} \]等号当 $b=c$ 时取得．
令 $a=\cos\theta$，其中 $\theta\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$，则上式即\[\begin{split} \sqrt 2\cos\theta\cdot\sin\theta+\dfrac{3}{2\sqrt 2}\cdot\sin^2\theta&=\dfrac{\sqrt 2}2\sin 2\theta -\dfrac{3}{4\sqrt 2}\cos 2\theta+\dfrac{3}{4\sqrt 2}\\&\leqslant \sqrt{\left(\dfrac{\sqrt 2}2\right)^2+\left(\dfrac{3}{4\sqrt 2}\right)^2}+\dfrac{3}{4\sqrt 2}=\sqrt 2,\end{split}\]等号可以取得．
容易验证 $a=\dfrac{1}{\sqrt 5}$，$b=c=\dfrac{\sqrt 2}{\sqrt 5}$ 时等号均可取得，因此所求的最大值为 $\sqrt 2$．
令 $a=\cos\theta$，其中 $\theta\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$，则上式即\[\begin{split} \sqrt 2\cos\theta\cdot\sin\theta+\dfrac{3}{2\sqrt 2}\cdot\sin^2\theta&=\dfrac{\sqrt 2}2\sin 2\theta -\dfrac{3}{4\sqrt 2}\cos 2\theta+\dfrac{3}{4\sqrt 2}\\&\leqslant \sqrt{\left(\dfrac{\sqrt 2}2\right)^2+\left(\dfrac{3}{4\sqrt 2}\right)^2}+\dfrac{3}{4\sqrt 2}=\sqrt 2,\end{split}\]等号可以取得．
容易验证 $a=\dfrac{1}{\sqrt 5}$，$b=c=\dfrac{\sqrt 2}{\sqrt 5}$ 时等号均可取得，因此所求的最大值为 $\sqrt 2$．
答案
解析
备注
