已知 $a,b>0$，且 $\dfrac 1a+\dfrac 1b=\dfrac 23$，求 $\dfrac 1{a-1}+\dfrac 4{b-1}$ 的最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac 74$
【解析】
在本题中，可以尝试利用柯西不等式将分式 $\dfrac{1}{a-1}$ 设法向 $\dfrac{1}{a}$ 转化，如$$\dfrac{1}{a-1}+\dfrac 11\geqslant \dfrac 4a.$$为了使得我们可以控制取等条件，可以引入参数$$\dfrac{1}{a-1}+\dfrac{\lambda^2}1 \geqslant \dfrac{(1+\lambda)^2}{a},$$其中 $\lambda>0$．
为了可以使用已知条件，处理 $\dfrac{4}{b-1}$，有$$\dfrac{4}{b-1}+\dfrac{(\lambda -1)^2}1 \geqslant \dfrac{(1+\lambda)^2}{b},$$其中 $\lambda>1$，两式相加可得$$\dfrac{1}{a-1}+\dfrac 4{b-1}\geqslant \dfrac 74-\dfrac{4}{3}\left(\lambda-\dfrac 54\right)^2.$$接下来通过取等条件确定参数 $\lambda$ 的值，即$$\begin{cases}\dfrac{1}{a-1}=\lambda,\\\dfrac{2}{b-1}=\lambda -1,\\\dfrac 1a+\dfrac 1b=\dfrac 23,\end{cases}$$解得$$\lambda =\dfrac 54,a=\dfrac 95,b=9,$$于是所求的最小值为$$\dfrac 74-\dfrac{4}{3}\left(\lambda-\dfrac 54\right)^2=\dfrac 74.$$
为了可以使用已知条件，处理 $\dfrac{4}{b-1}$，有$$\dfrac{4}{b-1}+\dfrac{(\lambda -1)^2}1 \geqslant \dfrac{(1+\lambda)^2}{b},$$其中 $\lambda>1$，两式相加可得$$\dfrac{1}{a-1}+\dfrac 4{b-1}\geqslant \dfrac 74-\dfrac{4}{3}\left(\lambda-\dfrac 54\right)^2.$$接下来通过取等条件确定参数 $\lambda$ 的值，即$$\begin{cases}\dfrac{1}{a-1}=\lambda,\\\dfrac{2}{b-1}=\lambda -1,\\\dfrac 1a+\dfrac 1b=\dfrac 23,\end{cases}$$解得$$\lambda =\dfrac 54,a=\dfrac 95,b=9,$$于是所求的最小值为$$\dfrac 74-\dfrac{4}{3}\left(\lambda-\dfrac 54\right)^2=\dfrac 74.$$
答案
解析
备注
