求证：$\left(1-\dfrac 12\right )\left(1-\dfrac 14\right )\left(1-\dfrac 16\right )\cdots\left(1-\dfrac {1}{2n}\right )<\sqrt{\dfrac {1}{2n+1}}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
记不等式左边为 $I_n$，有$$I_n=\dfrac 12\cdot\dfrac 34\cdot \dfrac 56\cdots\dfrac{2n-1}{2n},$$由糖水不等式知$$\dfrac {k}{k+1}<\dfrac {k+1}{k+2},k=1,2,\cdots,2n-1.$$于是有$$I_n<\dfrac 23\cdot\dfrac 45\cdot \dfrac 67\cdots\dfrac{2n}{2n+1}.$$上式两边同乘 $I_n$ 得$$I_n^2<\left(\dfrac 12\cdot\dfrac 34\cdot\dfrac 56\cdots\dfrac{2n-1}{2n}\right )\cdot\left(\dfrac 23\cdot \dfrac 45\cdot \dfrac 67\cdots\dfrac{2n}{2n+1}\right )=\dfrac {1}{2n+1}.$$不等式得证．
答案
解析
备注
