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函数 $y={\cos^3 x}+{\sin^2 x}-\cos x(x\in{\mathbb R})$ 的最大值是 \((\qquad)\)
A: $\dfrac 4{27}$
B: $\dfrac 8{27}$
C: $\dfrac {16}{27}$
D: $\dfrac {32}{27}$
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛辽宁省预赛
【标注】
  • 知识点
    >
    微积分初步
    >
    利用导数研究函数的性质
    >
    利用导数研究函数的最值
【答案】
D
【解析】
设 $t=\cos x(-1\leqslant t\leqslant 1)$，则\[y=t^3-t^2-t+1,\]于是\[y'=(3t+1)(t-1),\]于是当 $t=-\dfrac 13$ 时，$y$ 取得最大值 $\dfrac{32}{27}$．
题目 答案 解析 备注
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