求证：$\left(1+1\right )\left(1+\dfrac 14\right )\left(1+\dfrac 17\right )\cdots\left(1+\dfrac {1}{3n-2}\right )>\sqrt[3]{3n+1}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
因为$$1+\dfrac 1{3k-2}=\dfrac {3k-1}{3k-2}>\dfrac {3k}{3k-1}>\dfrac {3k+1}{3k},$$记要证不等式左边为 $A$，则有$$\begin{split} A=&\dfrac 21\cdot\dfrac 54\cdot\dfrac 87\cdots\dfrac {3n-1}{3n-2}\\>&\dfrac 32\cdot\dfrac 65\cdot\dfrac 98\cdots\dfrac {3n}{3n-1}\\>&\dfrac 43\cdot\dfrac 76\cdot\dfrac {10}9\cdots\dfrac {3n+1}{3n},\end{split} $$从而有$$A^3>\dfrac 21\cdot\dfrac 32\cdot\dfrac 43\cdots\dfrac {3n-1}{3n-2}\cdot\dfrac {3n}{3n-1}\cdot\dfrac {3n+1}{3n}>3n+1,$$不等式得证．
答案
解析
备注
