题目 一只口袋里装有 $3$ 个红球和 $7$ 个白球． 问题1 从口袋里任意摸出一个球，恰是红球的概率是多少？ 答案1 $\dfrac{3}{10}$ 解析1 摸出红球的概率 $P_1=\dfrac{3}{10}$； 备注1 问题2 再向口袋里放入两个红球，则从口袋里任意摸出一个球，恰好是红球的概率是变大还是变小，说明理由． 答案2 变大 解析2 摸出红球的概率$$P_2=\dfrac {5}{12}=\dfrac {3+2}{10+2}>\dfrac {3}{10}.$$说明加入两个红球后概率增大了．我们将袋子里的球看成糖水，红球相当于糖，这个结论就体现了糖水不等式． 备注2 对糖水不等式作进一步的思考：<br/><sol>问题三</sol>如果向口袋中加入的是一个红球和一个白球，那么取出红球的概率有什么样的变化？<br/><sol>问题四</sol>如果加入的是一个红球和两个白球，取出红球的概率又如何变化呢？<br/>这两个问题相当于将一种新的糖水，而不是纯糖加入原来的糖水中，问原来的糖水是变甜还是变淡．从生活角度理解，如果加入的糖水浓度比原来的糖水浓度大，则加入后糖水变甜；反之，加入后糖水变淡．在上面的问题中，原来“糖水”（即红球）的浓度为 $\dfrac {3}{10}$，第 $(3)$ 问加入的“糖水”浓度为 $\dfrac 12$，由$$\dfrac {1}{2}>\dfrac {3}{10}$$知取出红球的概率增大；第 $(4)$ 问中，加入的“糖水”浓度为 $\dfrac 13$，因为$$\dfrac {1}{3}>\dfrac{3}{10},$$所以取出红球的概率也增加了．<br/>一般地，我们可以得到拓展的糖水不等式：若 $b>a>0,n>0,m>0$，则当$$\dfrac nm>\dfrac ab$$时，有$$\dfrac {a+n}{b+m}>\dfrac ab,$$反之，当$$\dfrac nm<\dfrac ab$$时，有$$\dfrac {a+n}{b+m}<\dfrac ab.$$每日一题[315]糖水不等式的练习．